燕尾定理公式求面积（燕尾定理）

今天小红来为大家带来的是燕尾定理公式求面积，燕尾定理，让我们一起往下看看吧！

1、燕尾定理，因此图类似燕尾而得名，是五大模型之一，是一个关于三角形的定理（如图△ABC，D、E、F为BC、CA、AB 上点，满足AD、BE、CF 交于同一点O）。

2、   S△ABC中，S△AOB：S△AOC=S△BDO：S△CDO=BD：CD；同理，S△AOC：S△BOC=S△AFO：S△BFO=AF：BF；S△BOC：S△BOA=S△CEO：S△AEO=EC：AE。

3、  证法1  下面的是第一种方法：利用分比性质(若a/b=c/d，则（a-b）/b=（c-d）/d,[1]b≠0，d≠0,）[2](注：∵（a-b)/b=a/b-b/b=a/b-1,(c-d)/d=c/d-d/d=c/d-1,a/b=c/d∴（a-b）/b=（c-d）/d∵△ABD与△ACD同高∴S△ABD：S△ACD=BD：CD同理，S△OBD：S△OCD=BD：CD利用分比性质，得S△ABD-S△OBD：S△ACD-S△OCD=BD：CD即S△AOB：S△AOC=BD：CD命题得证。

4、证法2下面的是第二种方法：相似三角形法   证法1图已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。

5、求证：AE=CE 证明：如图，过点O作MN∥BC，交AB于点M，交AC于点N；过点O作PQ∥AB，交BC于点P，交AC于点Q。

6、∵MN∥BC∴△AMO∽△ABD，△ANO∽△ACD∴MO：BD=AO：AD，NO：CD=AO：AD∴MO：BD=NO：CD∵AD是△ABC的一条中线∴BD=CD∴MO=NO∵PQ∥AB∴△CPO∽△CBF，△CQO∽△CAF∴PO：BF=CO：CF，QO：AF=CO：CF∴PO：BF=QO：AF∵CF是△ABC的一条中线∴AF=BF∴PO=QO∵MO=NO，∠MOP=∠NOQ，PO=QO∴△MOP≌△NOQ(SAS)∴∠MPO=∠NQO∴MP∥AC（内错角相等，两条直线平行）∴△BMR∽△BAE（R为MP与BO的交点），△BPR∽△BCE∴MR：AE=BR：BE，PR：CE=BR：BE∴MR：AE=PR：CE∵MN∥BC，PQ∥AB∴四边形BMOP是平行四边形∴MR=PR（平行四边形的对角线互相平分）∴AE=CE命题得证。

7、证法3下面的是第三种方法：面积法已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。

8、求证：AE=CE证明：如图，∵点D是BC的中点，点F是AB的中点∴S△CAD = S△BAD，S△COD = S△BOD∴S△CAD - S△COD = S△BAD - S△BOD即S△AOC（绿） = S△AOB（红）∵S△ACF = S△BCF，S△AOF = S△BOF∴S△ACF - S△AOF = S△BCF - S△BOF即S△AOC（绿） = S△BOC（蓝）∴S△AOB（红） = S△BOC（蓝）∵S△AOE:S△AOB（红） = OE:OB，S△COE:S△BOC（蓝） = OE:OB∴S△AOE:S△AOB（红） = S△COE:S△BOC（蓝）∵S△AOB（红） = S△BOC（蓝）∴S△AOE = S△COE∴AE=CE命题得证。

9、证法4下面的是第四种方法：中位线法已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。

10、求证：AE=CE证明：如图，延长OE到点G，使OG=OB。

11、∵OG=OB∴点O是BG的中点又∵点D是BC的中点∴OD是△BGC的一条中位线∴AD∥CG（三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）∵点O是BG的中点，点F是AB的中点∴OF是△BGA的一条中位线∴CF∥AG∵AD∥CG，CF∥AG∴四边形AOCG是平行四边形∴AC、OG互相平分∴AE=CE命题得证。

12、证法5：因为ABCO是凹四边形，根据共边比例定理，命题得证  推广：共边比例定理四边形ABCD（不一定是凸四边形），设AC,BD相交于E  则有BE ：DE=S△ABC ：S△ADC此定理是面积法最重要的定理。

本文到此分享完毕，希望对大家有所帮助。